la conservation de l énergie

la conservation de l'énergie

Principe de Bernoulli :

l'énergie mécanique totale d'un écoulement de fluide incompressible et sans frottement est constante le long d'une ligne de courant de cet écoulement. Pour un écoulement uniforme, les lignes de courant correspondent à la trajectoire des molécules de fluides prises individuellement. Le principe de Bernoulli conduit à une relation entre la pression, la vitesse du fluide et la force de gravitation. Il montre que la vitesse du fluide augmente lorsque la pression exercée sur le fluide diminue.

   Ce principe est appliqué dans les tuyères et dans les débitmètres a tube venturi.  

Equation de Bernoulli :

Soit une particule de dimension dx, dy, dz prise d'un fluide parfait en mouvement permanent dans un champ de pesanteur, on à pour cela l'équation d'Euler sous la forme :

Dh_p Perte de charge entre les sections (1-1) et (2-2).

Perte de charge lineaire :

Les P.D.C  lineaires se produisent le long de la conduite, elles sont dues au frottement des particules entre elles et avec les parois.

Où :

l :coefficient de p.d.c lineaire.

L: longueur de la conduite

D: diamètre de la conduite.

Perte de charge singulière (locales) :

Les P.D.C locales sont provoquées par singularités de la conduite (changement de section ou de direction, coude, élargissement, rétrécissement, vannes…).

Tel que x : coefficient de P.D.C singulières.

But de la manipulation de Bernoulli :

Lors de cette manipulation on est amené à calculer :

1.     les pertes de charges linéaires et singulières

2.     les coefficients de ces pertes de charges

3. tracer les lignes piézométriques relatives  (L.P.R) ainsi que les lignes de charges relatives (L.C.R), leurs équations sont respectivement :

(L.P.R) º zi + Pi/rg

(L.C.R) º zi + Pi/rg + Vi² / 2g

Description de la manipulation de Bernoulli:

Lors de cette manipulation on a utilisé l'installation de la figure ci-contre, elle se compose des éléments suivants :

Une installation de tubes verticaux et de tubes horizontaux dont 7 piézomètres.

Une règle.

Un papier millimétré accroché verticalement.

Afin de réaliser cet essai on doit suivre les étapes suivantes :

1.     établir l’ouverture de la vanne de réglage de débit
2.     Attendre la stabilisation des nivaux des piézomètres pour relever les hauteurs piézométriques.
3.     Procéder à la détermination du débit correspondant à chaque hauteur piézométrique.
 On commence à déterminer le débit maximal qui est obtenu par la hauteur piésometrique minimal Z2.

interprétation graphique de l'équation de Bernoulli :

on considère un écoulement le long d'une ligne de courant, on représente alors les trois termes de l'équation de Bernoulli par rapport au plan de référence :

Pour les fluides parfaits incompressibles en mouvement permanent dans un champ de pesanteur, le théorème de Bernoulli exprime, que la ligne de charge est horizontale c'est à dire que le plan de charge est constant.

L’équation de Bernoulli traduit la conservation de l’énergie mécanique totale au cours du mouvement permanent. Donc sa dérivation est aussi possible par un bilan d’énergie en volume fini sous certaines hypothèses.

    Pour un écoulement caractérisé par les suppositions, déjà souligner au-dessus, le principe de la conservation de l’énergie se confond avec l’intégrale des équations dynamiques. 

    En d’autres thermes, on aura à utiliser l’équation de Bernoulli entre deux sections, qui s’écrit :

Le tableau1 a été rempli après avoir effectuer une lecture directe sur les tubes piézometrique pour Q variable.

Débit	Z0 (m)	Z1 (m)	Z2 (m)	Z3 (m)	Z4 (m)	Z5 (m)	Z7 (m)	Z8 (m)
Q1 (max.).	0,445	0,420	0,090	0,377	0,378	0,380	0,376	0,378
Q2	0,447	0,430	0,221	0,409	0,405	0,407	0,405	0,408
Q3	0,448	0,434	0,265	0,414	0,413	0,418	0,413	0,418
Q4	0,452	0,444	0,349	0,436	0,435	0,436	0,435	0,437
Q5	0,454	0,452	0,402	0,447	0,449	0,447	0,446	0,450

Tableau1: tableau de mesure

le calcul de la perte de charge singulière à la sortie du premier réservoir et à l’entrer du deuxième, on a besoin de certains paramètres qui sont rassembler dans le tableau ci-dessous :
(Pour le calcul du coefficient de la perte de charge linéaire entre 3 et 7, on a besoin aussi de ce tableau ).

	Dhv	Q´10-3	V1	V12/2g	Dhs110-2	V2	V22/2g	Dhs2 10-2	x1	x2	l 10-3
Q1max	0,330	1,82	0,643	0,020	0,5	2,57	0,330	1,8	0,25	0,9	1,9
Q2	0,209	1,44	0,508	0,012	0,5	2,03	0,206	0,9	0,416	0,75	7,6
Q3	0,169	1,30	0,459	0,010	0,4	1,84	0,169	0,5	0,4	0,5	1,9
Q4	0,095	0,97	0,342	0,005	0,3	1,37	0,093	0,2	0,6	0,4	1,9
Q5	0,050	0,71	0,251	0,003	-0,1	1,00	0,050	-0,1	-0,33	-0,33	1,9

Tableau2 : tableau de calcul.

   

  Tel que :

  Dh_v = Z₁ – Z₂ (m) ; Q = 0.00317ÖDh_v (m/s) ; V₁ = Q/S₁ (m/s),                         Dh_s1 = Z₀ – (Z₁ + (V₁² /2g)) (m) ; S₁=(pd₁²)/4 ; D=d₁, S₂=(pd₂²)/4,d=d₂.

 V₂ = Q/S₂ (m/s) ; Dh_s2 = Z₇ - (Z₈ - (V₁² /2g)) (m) ; x₁ = 2gDh_s1/V₁²,                                x₂ = 2gDh_s2/V₁² ;  l = (Z₃ – Z₇)/L_(3-7). L_{(3_7)} =0.525m.

La représentation des lignes piézométriques relatives (L.P.R) et des lignes de charges relatives sont tracées sur du papier millimétré par  rapport au niveau de référence (NR).

Exemple d’application de l'équation de Bernoulli:

 

On prend comme exemple le débit maximum Q_1max :

Dh_v = Z₁ – Z₂  =0,33 (m)

Q = 0.00317ÖDh_v =1,82. 10^-3 (m³/s)

 V₁ = Q/S₁ =0,643 (m/s)

 Dh_s1 = Z₀ – (Z₁ + (V₁² /2g))=0,005 (m)

 S₁=(pd₁²)/4, D=d₁

S₂=(pd₂²)/4, d=d₂.

 V₂ = Q/S₂ =2.57(m/s)

 Dh_s2 = Z₇ - (Z₈ - (V₁² /2g))=0,018 (m),

x₁ = 2gDh_s1/V₁²  =0,25

x₂ = 2gDh_s2/V₁² =0.90

l = (Z₃ – Z₇)/L_(3-7)  =1,9.10^-3, L_(3-7) =0.525m.

On répète pour chaque débit Q cette application.

Le tracé des lignes piézométriques relatives (LPR) et les lignes de charges relatives (LCR) :

Les lignes piézométriques relatives  sont représentées par l’équation :

Zi + Pi/rg

Les lignes de charge relatives sont représentées par l’équation :

Zi + Pi/rg +Vi²/2g

Ces lignes sont tracées pour chaque débit.

On trace les lignes piézométriques relatives à l’aide du tableau suivant :

Pi = 0 bar (Pression atmosphérique).

Distance de X (m)	0	0.125	0.235	0.55	0.74	0.92	1.075	1.105
Zi (m) Q1max	0,445	0,420	0,090	0,377	0,378	0,380	0,376	0,378
Zi(m)  Q2	0,447	0,430	0,221	0,409	0,405	0,407	0,405	0,408
Zi (m) Q3	0,448	0,434	0,265	0,414	0,413	0,418	0,413	0,418
Zi (m) Q4	0,452	0,444	0,349	0,436	0,435	0,436	0,435	0,437
Zi (m) Q5	0,454	0,452	0,402	0,447	0,449	0,447	0,446	0,450

Les lignes de charge relatives sont  aussi représentées à l’aide  du tableau suivant :

Distance de X(m)	0	0.125	0.235	0.55	0.74	0.92	1.075	1.105
Q1max Zi +Vi2/2g (m)	0.465	0,440	0,420	0,397	0,398	0,400	0,396	0,398
Q2     Zi +Vi2/2g (m)	0,457	0,442	0,427	0,421	0,417	0,419	0,417	0,420
Q3      Zi +Vi2/2g (m)	0,458	0,444	0,434	0,424	0,423	0,428	0,423	0,428
Q4      Zi +Vi2/2g (m)	0,457	0,449	0,442	0,441	0,440	0,441	0,44	0,442
Q5    Zi +Vi2/2g (m)	0,457	0,455	0,452	0,450	0,452	0,45	0,449	0,453

INTERPRETATION de l'équation de Bernoulli:

1-    on a considéré le coefficient de perte de charge l  constante et égale à

2-    1,9 10^-3, sans considérer le débit Q2, qui est dû à l'erreur commise lors de la manipulation.

3-    Les valeurs négatives obtenues lors de Q5 sont liées, elles aussi à l'erreur commise lors de la manipulation.

4-    L'erreur commise lors de la manipulation est due d'une part à la mauvaise lecture des hauteurs zi, et d'autre part au mauvais état du matériel à cause des fuites.

5-    Les graphes obtenus nous permettent de remarquer :

La LPR présente une chute brusque due à la singularité de la conduite entre le  point 1 et 3. cette chute varie avec le débit. Le débit est d'autant plus grand que la chute est grande et vice versa, plus le débit est petit plus la chute est petite.  

La LCR est décroissante, et d'un niveau supérieur au niveau de la LPR.

 6-    Calcul de la perte de charge linéaire et singulière :

 Les pertes de charges linéaires et singulières sont représentées dans le tableau suivant :

Débit	Perte de charge linéaire (DhL)10-4	Perte de charge singulière(Dhs)10-²
		A l’entrée (Dhs1)	A la sortie (Dhs2)
Q1max	3,325	0,5	1,8
Q2	1,995	0,5	0,9
Q3	1,662	0,4	0,5
Q4	0,831	0,3	0,2
Q5	0,498	-0,1	-0,1

La perte de charge linéaire  ce calcul par la relation.

Dhl =lLV²/D2g

tel que  :

l :coefficient de p.d.c linéaire.

L: longueur de la conduite

D: diamètre de la conduite

La perte de charge singulière se calcul par la relation :

Dh_s =x V² / 2g

Tel que :

x : coefficient de P.D.C singulières

x₁ à l'entrée

x₂ à la sortie

Les (LPR ) sont des chutes brusques de la charge due à la singularité de la conduite entre les deux niveaux 1 et 3, cette chute a une variation avec le débit ; c.-à-d. que chaque fois le débit augmente, la chute de charge augmente.

Les (LCR) sont décroissantes et d’un niveau supérieur des (LPR).

Conclusion sur l'équation de Bernoulli

L'application  du   théorème de Bernoulli à permis la compréhension du rôle des pertes de charges dans les conduites, qui nous donne une appréciation de la qualité de la conduite et nous permet de choisir un débit optimum pour avoir une bonne longévité de cette conduite. 

On déduit de cette manipulation que plus le débit diminue plus la perte de charge singulière diminue, plus la LCR tend à être constante et plus la LCR et la LPR se rapprochent l'une de l'autre.  

Cette application nous permet de bien maîtriser le domaine d’alimentation par conduite grâce aux in formations que nous procurent les resultats obtenues.

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